Ставропигия - это монастырь, независимый от местной епархиальной власти, и подчиненный непосредственно патриарху или синоду. В данном конкретном случае - переподчиненный Стамбулу вместо филаретовских раскольников или прочих неканонических структур.
При смене формы власти похерится легко и непринужденно.
О чем идет речь во втором случае, не знаю.